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本書探討了基於常識和看似“不可能”問題之間的創造性視角下的數學史，追尋的是那些標誌著數學進步新概念的發明發現：無理數和虛數，第四維，空間曲線，無窮……本書涉及看似不可能的藝術、文學、哲學和物理學，擺脫了對數學概念的狹隘解釋，拓寬了學生的視野。
第1章 無理數
1.1 畢達哥拉斯之夢
1.2 畢達哥拉斯定理
1.3 無理三角形
1.4 畢達哥拉斯之噩夢
1.5 解釋無理數
1.6 √2的連分數表示
1.7 平均律
第2章 虛數
2.1 負數
2.2 虛數
2.3 求解三次方程
2.4 通過虛數得到實數解
2.5 1572年之前虛數在哪裡
2.6 乘法的幾何學
2.7 複數提供的超過了我們所要求的
2.8 為什麼將它們稱為“複數”
第3章 地平線
3.1 平行線
3.2 座標
3.3 平行線與視覺
3.4 不用度量的畫法
3.5 l白普斯定理和德薩格定理
3.6 德薩格小定理
3.7 代數定律有哪些
3.8 射影加法與乘法
第4章 無窮小
4.1 長度和面積
4.2 體積
4.3 四面體的體積
4.4 圓
4.5 抛物線
4.6 其他曲線的斜率
4.7 斜率和面積
4.8 π的數值
4.9 那些死去的量的鬼魂
第5章 彎曲空間
5.1 平面空間與中世紀空間
5.2 二維球面與三維球面
5.3 平坦曲面與平行公理
5.4 球面與平行公理
5.5 非歐幾何
5.6 負曲率
5.7 雙曲平面
5.8 雙曲空間
5.9 數學空間與真實空間
第6章 第四維
6.1 數對的算術
6.2 搜尋適合三元陣列的算術
6.3 為什麼n≥3時的n元陣列不像數
