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《數值分析與算法》共分12章，主要內容有：誤差分析、非線性方程求根、線性方程組的直接解法與迭代解法、向量與矩陣范數、插值、最小二乘與函數的很佳逼近、數值積分與數值微分、常微分方程數值解法、矩陣特征值的計算方法、三角插值與快速Fourier變換、不適定問題與Tikhonov正則化方法等。
前言
第1章 緒論
1.1數值分析
1.2誤差
1.2.1誤差的概念
1.2.2誤差的來源
1.2.3誤差的運算
1.2.4有效數字
1.3病態問題與數值穩定性
1.3.1病態問題
1.3.2數值穩定性
1.3.3避免誤差的若干原則
習題1
第2章 非線性方程求根
2.1二分法
2.2簡單迭代法及其收斂性
2.2.1簡單迭代法
2.2.2簡單迭代法的收斂性
2.2.3簡單迭代法的收斂階
2.2.4迭代法的加速方法
2.3Newton迭代法
2.3.1Newton迭代格式
2.3.2Newton迭代法的收斂性
2.3.3Newton迭代法的變形
習題2
第3章 線性代數方程組的直接解法
3.1線性代數方程組應用舉例
3.1.1最小二乘擬合
3.1.2微分方程的數值求解問題
3.1.3熱傳導方程逆時問題
3.2消元法
3.2.1三角方程組的求解方法
3.2.2Gauss消元法
3.2.3選主元消元法
3.2.4消元法與矩陣分解
3.2.5矩陣求逆與Gauss—Jordan消元法
3.3矩陣的三角分解
3.3.1Doolittle分解
3.3.2Courant分解
3.3.3帶狀對角矩陣的三角分解與追趕法
3.3.4正定矩陣的三角分解
習題3
第4章 向量與矩陣范數
4.1向量范數
4.1.1向量范數
4.1.2向量范數性質
4.2矩陣范數
4.2.1矩陣范數
4.2.2誤差分析與矩陣的條件數
4.2.3矩陣序列
習題4
第5章 線性代數方程組的迭代解法
5.1Jacobi迭代法與Gauss—Seidel迭代法
5.1.1Jacobi迭代法及其收斂性
5.1.2Gauss—Seidel迭代及其收斂性
5.2松弛迭代法
5.3基於變分原理的迭代法
5.3.1最速下降法
5.3.2共軛梯度法
習題5
第6章 插值
6.1插值概念
6.1.1插值的定義
6.1.2插值函數的存在唯 一性
6.2Lagrange插值
6.2.1線性插值和拋物線插值
6.2.2n次Lagrange插值多項式
6.2.3插值余項與誤差估計
6.3Newton插值
6.3.1差商及其計算
6.3.2Newton插值多項式
6.4差分與等距節點的Newton插值
6.4.1差分及其性質
6.4.2等距節點的Newton插值多項式
6.5Hermite插值
6.6分段低次插值
6.6.1Runge現象
6.6.2分段線性插值
6.6.3分段三次Hermite插值
6.7三次樣條插值
6.7.1三次樣條函數和三次樣條插值
6.7.2三次樣條插值的m關系式
6.7.3三次樣條插值的M關系式
習題6
第7章 最小二乘與函數的最佳逼近
7.1曲線擬合的最小二乘法
7.1.1曲線擬合
7.1.2形如aebx的曲線擬合
7.2正交多項式
7.2.1內積與正交多項式
7.2.2Legendre多項式
7.2.3Chebyshev多項式
7.2.4無窮區間上的正交多項式
7.2.5基於正交多項式的最小二乘法
7.3函數最佳平方逼近
7.3.1平方逼近
7.3.2最佳平方逼近多項式
習題7
第8章 數值積分與數值微分
8.1數值積分概述
8.1.1數值積分的概念
8.1.2插值型數值積分公式
8.1.3代數精度與待定系數法
8.2Newton—Cotes數值積分公式
8.2.1Newton—Cotes數值積分
8.2.2Newton—Cotes數值積分公式的代數精度和誤差
8.3復化數值積分
8.3.1復化梯形公式
8.3.2復化Simpson公式
8.3.3數值積分的自適應算法
8.4外推方法與Romberg積分
8.4.1節點加密與事后誤差估計
8.4.2外推方法
8.4.3Euler—Maclaurin展開
8.4.4Romberg積分
8.5Gauss型數值積分公式
8.5.1基本概念與性質
8.5.2常用的Gauss型數值積分公式
8.6數值微分
8.6.1差商型數值微分公式
8.6.2基於插值的數值微分方法
8.6.3數值微分的外推方法
習題8
第9章 常微分方程數值解法
9.1Euler方法
9.1.1Euler公式及其幾何解釋
9.1.2收斂性與誤差分析
9.2Runge—Kutta方法
9.2.1基於Taylor展開的單步方法
9.2.2Runge—Kutta方法
9.2.3單步方法的收斂性和穩定性
9.3線性多步法
9.3.1基於數值積分的線性多步法
9.3.2線性多步法構造的待定系數法
9.3.3Adams公式
9.4隱式格式的迭代與預測—校正
9.4.1隱式差分格式的迭代
9.4.2隱式差分格式的預測—校正
9.5方程組與高階方程的數值解法
9.5.1一階方程組的數值解法
9.5.2高階常微分方程的數值解法
9.6邊值問題的數值解法
9.6.1常微分方程邊值問題
9.6.2邊值問題的「打靶法」
9.6.3直接差分方法
習題9
第10章 矩陣特征值的計算方法
10.1冪法
10.1.1冪法
10.1.2反冪法
10.2Householder矩陣與Givens矩陣QR分解
10.2.1Householder矩陣
10.2.2Givens矩陣
10.2.3矩陣的QR分解
10.3Jacobi方法與Givens—Householder方法
10.3.1Jacobi方法
10.3.2Givens—Householder方法
10.4一般矩陣特征值的QR方法
10.4.1QR方法
10.4.2Hessenberg矩陣及其QR分解
10.4.3帶位移的QR方法
習題10
第11章 三角插值與快速Fourier變換
11.1三角插值
11.2快速Fourier變換
11.2.1離散Fourier分析
11.2.2快速Fourier變換（FastFouriertransform）
習題11
第12章 不適定問題與Tikhonov正則化方法
12.1奇異值分解
12.2Tikhonov正則化方法
12.2.1Tikhonov正則化
12.2.2Tikhonov正則化參數的選取方法
12.3數值微分的Lanczos方法
12.3.1一階數值微分的Lanczos方法
12.3.2二階數值微分的Lanczos方法
12.3.3數值實驗
12.4一類拋物型方程源項反演
12.4.1問題的數學模型
12.4.2源項反演的正則優化方法
12.4.3數值實驗
12.5重建聲柔散射體的牛頓迭代法
12.5.1逆散射問題的數學模型
12.5.2基於分解方法的牛頓迭代法
12.5.3數值實驗
習題12
參考文獻
