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第 1 章 緒 論 20
☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22
☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？ ................................. 26
☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33
☆ 1.8 把數學口語化 ....................................... 34
第 2 章 數學是宇宙的真理 36
☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？ ................................... 38
☆ 2.2 數學是一種偉大的思維 ................................. 40
☆ 2.3 在「答案」背後的意義.................................. 42
☆ 2.4 數學是美也是真理 ..................................... 43
☆ 2.5 數值在歷史上的迷思 ................................... 45
☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧 ................................... 46
☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理 ................................. 48
☆ 2.8 數學之唯美 ....................................... 52
☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大 ................................... 54
☆ 2.10 世界上最美的方程式 ................................... 56
☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式 ........................... 57
☆ 2.12 思維的特質使人成為天才 ............................... 61
第 3 章 大自然的曼妙哲學與原理 64
☆ 3.1 脫離傳統的制度 ....................................... 66
☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她 ............................... 68
☆ 3.3 偉大的生命曲線 ....................................... 72
☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係 ........................... 75
☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ....................................... 78
☆ 3.6 【典範範例】集錦...................................... 80
【★★★典範範例 3-01】 ................................. 80
【★★★典範範例 3-02】 ................................. 84
【★★★典範範例 3-03】 ................................. 87
【★★★典範範例 3-04】 ................................. 88
【★★★典範範例 3-05】 ................................. 90
【★★★典範範例 3-06】 ................................. 91
【★★★典範範例 3-07】 ................................. 93
【★★★★典範範例 3-08】[ 研究與分析 ] ................... 94
第 4 章 從微積分的思維說起 98
☆ 4.1 人們自古就喜歡算命 .................................. 100
☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問 ...................... 101
☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道 .......................... 103
☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問 ................ 107
☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了 ............................ 110
☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？ .............................. 111
☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析 ........................ 113
【★★★問題與研究】 .................................. 115
☆ 4.8 直線的積分會是什麼？ ................................ 117
【★★★問題與研究】 .................................. 118
☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？ ............................ 119
【★★★問題與研究】 .................................. 122
第 5 章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 126
☆ 5.1 人類因幻想而偉大 .................................... 128
☆ 5.2 來到那「極限」的地方 ................................ 129
☆ 5.3 你知道 1=2 的悖論嗎？ ................................ 131
☆ 5.4 極限 (limits) 的問題與思維 ........................... 133
☆ 5.5 【典範範例】集錦..................................... 136
【★★★典範範例 5-01】 ................................ 136
【★★★典範範例 5-02】 ................................ 137
【★★★典範範例 5-03】 ................................ 138
【★★★典範範例 5-04】 ................................ 140
【★★★典範範例 5-05】 ................................ 141
【★★★典範範例 5-06】 ................................ 143
【★★★典範範例 5-07】 ................................ 145
【★★★★典範範例 5-08】 [ 研究與分析 ] ................ 146
【★★★★典範範例 5-09】 [ 研究與分析 ] ................ 150
【★★★★典範範例 5-10】 [ 研究與分析 ] ................ 152
【★★★★典範範例 5-11】 [ 研究與分析 ] ................ 155
【★★★★典範範例 5-12】 [ 研究與分析 ] ................ 157
第 6 章 微分究竟想做什麼？ 160
☆ 6.1 讀書的學問之道 ...................................... 162
☆ 6.2 事情永遠都在變化 .................................... 164
☆ 6.3 微分是求微量的因果之道 .............................. 165
☆ 6.4 進一步的談導數與微分 ................................ 168
☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道 ...................... 170
☆ 6.6 數學中的微分方法 .................................... 171
☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道 ...................... 172
☆ 6.8 【典範範例】集錦..................................... 179
【★★★典範範例 6-01】 ................................ 179
【★★★典範範例 6-02】 ................................ 181
【★★★★典範範例 6-03】 [ 研究與分析 ] ................ 184
【★★★★典範範例 6-04】 [ 研究與分析 ] ................ 186
【★★★★典範範例 6-05】 [ 研究與分析 ] ................ 189
【★★★★典範範例 6-06】 [ 研究與分析 ] ................ 194
【★★★★典範範例 6-07】 [ 研究與分析 ] ................ 197
【★★★★典範範例 6-08】 [ 研究與分析 ] ................ 199
【★★★★典範範例 6-09】 [ 研究與分析 ] ................ 204
【★★★★典範範例 6-10】 [ 研究與分析 ] ................ 209
第 7 章 奇特的三角函數微分 212
☆ 7.1 世界上最實用的科學 .................................. 214
☆ 7.2 基本三角函數的微分 .................................. 216
☆ 7.3 為什麼 sin(x) 的微分是 cos(x) 呢？ .................... 217
☆ 7.4 為什麼 cos(x) 的微分卻是 -sin(x) 呢？ ................. 221
☆ 7.5 綜合型三角函數的微分 ................................ 223
☆ 7.6 【典範範例】集錦..................................... 225
【★★★典範範例 7-01】 ................................ 225
【★★★典範範例 7-02】 ................................ 227
【★★★典範範例 7-03】 ................................ 229
【★★★★典範範例 7-04】[ 研究與分析 ] .................. 231
【★★★★典範範例 7-05】[ 研究與分析 ] .................. 234
【★★★★典範範例 7-06】[ 研究與分析 ] .................. 237
【★★★★典範範例 7-07】[ 研究與分析 ] .................. 242
【★★★★典範範例 7-08】[ 研究與分析 ] .................. 246
【★★★★典範範例 7-09】[ 研究與分析 ] .................. 249
【★★★★典範範例 7-10】[ 研究與分析 ] .................. 254
【★★★★典範範例 7-11】[ 研究與分析 ] .................. 259
第 8 章 為大自然說話的曲線 264
☆ 8.1 大自然的生命道理 .................................... 266
☆ 8.2 用白話文講「指數」 .................................. 269
☆ 8.3 自然指數在數學上的定義 .............................. 270
☆ 8.4 指數運算定律 ...................................... 271
☆ 8.5 指數函數的特性曲線 .................................. 273
☆ 8.6 這個 e=2.71828 是什麼意思？ .......................... 274
☆ 8.7 「對數」是什麼意思？ ................................ 275
☆ 8.8 用白話文講「對數」 .................................. 277
☆ 8.9 【典範範例】集錦..................................... 279
【★★★典範範例 8-01】 ................................ 279
【★★★典範範例 8-02】 ................................ 281
【★★★典範範例 8-03】 ................................ 282
【★★★典範範例 8-04】 ................................ 284
【★★★典範範例 8-05】 ................................ 285
【★★★★典範範例 8-06】 [ 研究與分析 ] ................ 287
【★★★★典範範例 8-07】 [ 研究與分析 ] ................ 289
【★★★★典範範例 8-08】 [ 研究與分析 ] ................ 291
【★★★★典範範例 8-09】 [ 研究與分析 ] ................ 294
【★★★★典範範例 8-10】 [ 研究與分析 ] ................ 295
【★★★★典範範例 8-11】 [ 研究與分析 ] ................ 298
【★★★★典範範例 8-12】 [ 研究與分析 ] ................ 301
【★★★★典範範例 8-13】 [ 研究與分析 ] ................ 304
第 9 章 用白話文講指數與對數的微分 308
☆ 9.1 再用白話文講「指數」 ................................ 310
☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義 ............................ 312
☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤 ........................ 314
☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍 .......................... 315
☆ 9.5 指數微分與符號法則 .................................. 317
☆ 9.6 什麼是對數函數 ...................................... 318
☆ 9.7 如何口語化數學 ...................................... 319
☆ 9.8 口語化的「對數」函數 ................................ 320
☆ 9.9 奇妙的對數微分 ...................................... 324
☆ 9.10 【典範範例】集錦..................................... 326
【★★★典範範例 9-01】[ 研究與分析 ] .................... 326
【★★★典範範例 9-02】 ................................ 329
【★★★典範範例 9-03】 ................................ 331
【★★★典範範例 9-04】 ................................ 332
【★★★典範範例 9-05】 ................................ 334
【★★★★典範範例 9-06】[ 研究與分析 ] .................. 337
【★★★★典範範例 9-07】[ 研究與分析 ] .................. 340
【★★★★典範範例 9-08】[ 研究與分析 ] .................. 343
【★★★★典範範例 9-09】[ 研究與分析 ] .................. 345
【★★★★典範範例 9-10】[ 研究與分析 ] .................. 349
【★★★★典範範例 9-11】[ 研究與分析 ] .................. 353
【★★★★典範範例 9-12】[ 研究與分析 ] .................. 356
【★★★★典範範例 9-13】[ 研究與分析 ] .................. 358
【★★★★典範範例 9-14】[ 研究與分析 ] .................. 362
【★★★★典範範例 9-15】[ 研究與分析 ] .................. 365
【★★★★典範範例 9-16】[ 研究與分析 ] .................. 368
第 10 章 積分究竟是什麼？ 376
☆ 10.1 積分的究竟思維 ...................................... 378
☆ 10.2 積分在數學上的意義 .................................. 380
☆ 10.3 積分有什麼用呢？ .................................... 384
☆ 10.4 【典範範例 -1】介於直線之間的面積.................... 386
☆ 10.5 【典範範例 -2】介於曲線之間的面積.................... 391
☆ 10.6 積分的進階思維 ...................................... 394
☆ 10.7 多重積分的意義 ...................................... 397
☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？ .......................... 401
☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？ ...................... 404
☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？ ...................... 405
☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積 ................................ 409
☆ 10.12 【典範範例】集錦..................................... 411
【★★★典範範例 10-01】 ............................... 411
【★★★典範範例 10-02】 ............................... 413
【★★★典範範例 10-03】 ............................... 414
【★★★典範範例 10-04】 ............................... 416
【★★★典範範例 10-05】 ............................... 417
【★★★典範範例 10-06】[ 研究與分析 ] ................... 419
【★★★典範範例 10-07】[ 研究與分析 ] ................... 422
【★★★典範範例 10-08】[ 研究與分析 ] ................... 425
【★★★典範範例 10-09】[ 研究與分析 ] ................... 428
【★★★典範範例 10-10】[ 研究與分析 ] ................... 432
【★★★典範範例 10-11】[ 研究與分析 ] ................... 434
第 11 章 用白話文講對數與指數的積分 438
☆ 11-1 什麼是指數與自然指數 ................................ 440
☆ 11.2 指數的基本運算與積分 ................................ 441
☆ 11.3 還是一條不死的龍 .................................... 442
☆ 11.4 口語化的指數與對數關係 .............................. 445
☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義 .......................... 448
☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式 ............................ 449
☆ 11.7 【典範範例】集錦..................................... 450
【★★★典範範例 11-01】[ 研究與分析 ] ................... 450
【★★★典範範例 11-02】[ 研究與分析 ] ................... 454
【★★★典範範例 11-03】[ 研究與分析 ] ................... 456
【★★★典範範例 11-04】[ 研究與分析 ] ................... 458
【★★★典範範例 11-05】[ 研究與分析 ] ................... 460
【★★★★典範範例 11-06】[ 研究與分析 ] ................. 462
【★★★★典範範例 11-07】[ 研究與分析 ] ................. 465
【★★★★典範範例 11-08】[ 研究與分析 ] ................. 467
【★★★★典範範例 11-09】[ 研究與分析 ] ................. 469
【★★★★典範範例 11-10】[ 研究與分析 ] ................. 471
【★★★★典範範例 11-11】 ............................. 473
【★★★★典範範例 11-12】[ 研究與分析 ] ................. 476
【★★★★典範範例 11-13】[ 研究與分析 ] ................. 480
【★★★★典範範例 11-14】[ 研究與分析 ] ................. 484
【★★★★典範範例 11-15】[ 研究與分析 ] ................. 486
第 12 章 卓越的三角函數積分 490
☆ 12.1 三角學是大自然的祕密 ................................ 492
☆ 12.2 從天文到地理 ...................................... 493
☆ 12.3 三角函數的數值觀念 .................................. 494
☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品 .......................... 496
☆ 12.5 三角函數的相關公式 .................................. 498
☆ 12.6 【典範範例】集錦..................................... 499
【★★★典範範例 12-01】[ 研究與分析 ] ................... 499
【★★★典範範例 12-02】[ 研究與分析 ] ................... 502
【★★★★典範範例 12-03】[ 研究與分析 ] ................. 505
【★★★★典範範例 12-04】[ 研究與分析 ] ................. 508
【★★★★典範範例 12-05】[ 研究與分析 ] ................. 512
【★★★★典範範例 12-06】[ 研究與分析 ] ................. 518
【★★★★典範範例 12-07】[ 研究與分析 ] ................. 521
【★★★★典範範例 12-08】[ 研究與分析 ] ................. 523
【★★★★典範範例 12-09】[ 研究與分析 ] ................. 528
【★★★★典範範例 12-10】[ 研究與分析 ] ................. 533
第 13 章 特異的奇函數與偶函數 540
☆ 13.1 不可不知的函數對消作用 .............................. 542
☆ 13.2 奇函數的定義 ...................................... 543
☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？......................... 544
☆ 13.4 偶函數的定義 ...................................... 545
☆ 13.5 由一半而推知另一半 .................................. 547
☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能 ............................ 549
☆ 13.7 【典範範例】集錦..................................... 552
【★★★典範範例 13-01】[ 研究與分析 ] ................... 552
【★★★典範範例 13-02】[ 研究與分析 ] ................... 555
【★★★★典範範例 13-03】[ 研究與分析 ] ................. 557
【★★★★典範範例 13-04】[ 研究與分析 ] ................. 558
【★★★★典範範例 13-05】[ 研究與分析 ] ................. 561
【★★★★典範範例 13-06】[ 研究與分析 ] ................. 563
第 14 章 高階的面積分與體積分 568
☆ 14.1 積分的進階思維 ...................................... 570
☆ 14.2 不規則平面面積之處理 ................................ 573
☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積 ................................ 575
☆ 14.4 如何計算物體之體積 .................................. 578
☆ 14.5 圓盤法 (circular-disk method) ........................ 580
☆ 14.6 柱殼法 (cylindrical shell method) .................... 584
☆ 14.7 【典範範例】集錦..................................... 587
【★★★典範範例 14-01】 ............................... 587
【★★★典範範例 14-02】 ............................... 588
【★★★典範範例 14-03】 ............................... 590
【★★★典範範例 14-04】 ............................... 592
【★★★典範範例 14-05】 ............................... 594
【★★★典範範例 14-06】 ............................... 596
【★★★典範範例 14-07】 ............................... 598
【★★★典範範例 14-08】 ............................... 600
【★★★★典範範例 14-09】 ............................. 602
【★★★★典範範例 14-10】 ............................. 604
【★★★★典範範例 14-11】 ............................. 607
【★★★★典範範例 14-12】 ............................. 609
【★★★★典範範例 14-13】 ............................. 613
【★★★★典範範例 14-14】 ............................. 616
【★★★★典範範例 14-15】 ............................. 623
【★★★★典範範例 14-16】 ............................. 626
【★★★★典範範例 14-17】 ............................. 629
【★★★★典範範例 14-18】 ............................. 631
【★★★★典範範例 14-19】 ............................. 633
【★★★★典範範例 14-20】 ............................. 635
【★★★★典範範例 14-21】 ............................. 638
第 15 章 進入虛幻世界 640
☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？ ............................ 642
☆ 15.2 在實數中無解的問題 .................................. 644
☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案 .................... 645
☆ 15.4 宇宙中最大的數系 .................................... 647
☆ 15.5 複數平面的運算 ...................................... 649
☆ 15.6 複變數的微分 ...................................... 651
☆ 15.7 複變數的積分 ...................................... 652
☆ 15.8 【典範範例】集錦..................................... 653
【★★★典範範例 15-01】 ............................... 653
【★★★典範範例 15-02】 ............................... 653
【★★★典範範例 15-03】 ............................... 654
【★★★典範範例 15-04】 ............................... 655
【★★★★典範範例 15-05】[ 研究與分析 ] ................. 656
【★★★★典範範例 15-06】[ 研究與分析 ] ................. 657
【★★★★典範範例 15-07】[ 研究與分析 ] ................. 659
【★★★★典範範例 15-08】[ 研究與分析 ] ................. 662
【★★★★典範範例 15-09】[ 研究與分析 ] ................. 663
【★★★★典範範例 15-10】[ 研究與分析 ] ................. 666
【★★★★典範範例 15-11】[ 研究與分析 ] ................. 668
【★★★★典範範例 15-12】[ 研究與分析 ] ................. 669
【★★★★典範範例 15-13】[ 研究與分析 ] ................. 670
【★★★★典範範例 15-14】[ 研究與分析 ] ................. 671
【★★★★典範範例 15-15】[ 研究與分析 ] ................. 673
【★★★★典範範例 15-16】[ 研究與分析 ] ................. 674
