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《變分分析與應用》是Boris S.Mordukhovich教授在變分分析與非光滑優化領域的*新專著。
《變分分析與應用》主要在有限維空間中對變分分析的關鍵概念和事實進行系統和易於理解的闡述, 這部分內容包括一階廣義微分的基本結構、集合系統的極點原理、增廣實值函數的變分原理、集值映射的適定性、上導數分析法則、集值運算元的單調性和一階次微分分析法則; 同時進一步介紹基於上述理論的優選技術在不可微優化與雙層優化、半無窮規劃、集值優化與微觀經濟建模中的應用。
有限維框架顯著地簡化了主要結果的說明和證明。《變分分析與應用》包含豐富的說明性圖表和例子, 每章末尾都配有大量的練習題, 以説明讀者加深對內容的理解, 培養本領域的研究技能, 為“變分分析” 課程的教學創建可用的教材。
本書可以作為高等院校數學專業高年級本科生的教材，也可作為運籌學、管理科學、系統科學等相關專業的研究生從事很優化理論研究的基礎教材，也可供經濟學、力學、工程學和行為科學等領域相關專業科研人員參考.
譯者序
前言
第1章 廣義微分的構造 1
1.1 閉集的法向量與切向量 2
1.1.1 廣義法向量 2
1.1.2 切向原對偶性 7
1.1.3 光滑變分描述 8
1.2 映射的上導數 11
1.2.1 集值映射 11
1.2.2 上導數的定義和基本性質 12
1.2.3 凸集值映射的極值性質 15
1.3 非光滑函數的一階次梯度 17
1.3.1 增廣實值函數 17
1.3.2 上圖法向量的次梯度 18
1.3.3 上導數的次梯度 23
1.3.4 正則次梯度和e-擴張 27
1.3.5 極限次微分表示 29
1.3.6 距離函數的次梯度 35
1.4 第1章習題 43
1.5 第1章評注 56
第2章 變分分析的基本原理 68
2.1 有限集系統的極點原理 68
2.1.1 集合極點的概念和例子 68
2.1.2 基本極點原理和一些結果 70
2.2 可數集系統的極點原理 73
2.2.1 可數集系統的極點性質 73
2.2.2 錐與相依極點原理 75
2.3 函數的變分原理 80
2.3.1 一般變分原理 80
2.3.2 次很優性和不動點的應用 81
2.4 基本的交法則和一些結果 83
2.4.1 集合的交與和的法向量 83
2.4.2 次微分和法則 85
2.5 第2章練習 87
2.6 第2章評注 97
第3章 適定性和上導數分析法則 102
3.1 集值映射的適定性質 102
3.1.1 適定性的範例 102
3.1.2 適定性的上導數刻畫 107
3.1.3 特殊情形下的刻畫 110
3.2 上導數分析法則 113
3.2.1 上導數和法則 113
3.2.2 上導數鏈式法則 115
3.2.3 其他上導數分析法則 118
3.3 變分系統的上導數分析 119
3.3.1 參數變分系統 119
3.3.2 參數變分系統的度量正則性的上導數條件 124
3.3.3 度量正則性對主要類型的PVS不成立 126
3.4 第3章練習 130
3.5 第3章評注 149
第4章 一階次微分分析法則 159
4.1 邊際函數的次微分 159
4.2 複合映射的次微分 163
4.3 最小值和優選值函數的次微分 166
4.4 中值定理及其應用 168
4.4.1 由對稱次梯度表示的中值定理 168
4.4.2 近似中值定理 170
4.4.3 AMVT的次微分刻畫 172
4.5 第4章練習 178
4.6 第4章評注 184
第5章 極大單調運算元的上導數 188
5.1 全域單調性的上導數準則 188
5.1.1 由正則上導數表示的極大單調性 188
5.1.2 具有凸定義域的極大單調運算元 192
5.1.3 由極限上導數表示的極大單調性 195
5.2 強局部單調性的上導數準則 198
5.2.1 強局部單調性和相關性質 198
5.2.2 由上導數表示的強局部極大單調性 201
5.2.3 點基上導數刻畫 206
5.3 第5章練習 207
5.4 第5章評注 212
第6章 不可微和雙層優化 216
6.1 不可微規劃問題 216
6.1.1 下次微分和上次微分條件 216
6.1.2 有限多個不等式和等式約束 221
6.1.3 很優性條件的例子和討論 223
6.2 雙層規劃問題 228
6.2.1 樂觀和悲觀版本 228
6.2.2 值函數方法 229
6.2.3 部分平靜性質與弱尖銳極小值 230
6.3 具有光滑和Lipschitz資料的雙層規劃 235
6.3.1 光滑雙層規劃的很優性條件 235
6.3.2 Lipschitz問題的很優性條件 241
6.4 第6章練習 242
6.5 第6章評注 249
第7章 具有一定凸性的半無窮規劃 254
7.1 無窮線性不等式系統的穩定性 254
7.1.1 類Lipschitz性質和強Slater條件 255
7.1.2 參數無窮線性系統的上導數 258
7.1.3 Lipschitz穩定性的上導數刻畫 264
7.2 無窮線性約束下的優化 273
7.2.1 具有無窮不等式約束的雙變數SIPs 274
7.2.2 SIPs的上次微分很優性條件 274
7.2.3 SIPs的下次微分很優性條件 277
7.2.4 在水資源優化中的應用 278
7.3 塊擾動下的無窮線性系統 283
7.3.1 無窮線性塊擾動系統的描述 284
7.3.2 基於上導數的塊擾動系統的穩定性 284
7.3.3 在無窮凸不等式系統中的應用 291
7.4 無窮凸系統的度量正則性 293
7.4.1 度量正則性的DC優化方法 294
7.4.2 凸圖多值映射的度量正則性 296
7.4.3 在無窮凸約束系統中的應用 303
7.5 DC半無窮優化中的值函數 313
7.5.1 DC半無窮規劃的很優性條件 314
7.5.2 DC SIPs值函數的正則次梯度 319
7.5.3 DC SIPs的值函數的極限次梯度 322
7.5.4 具有凸資料的雙層半無窮規劃 332
7.6 第7章練習 336
7.7 第7章評注 339
第8章 非凸半無窮優化 342
8.1 無窮可微系統的優化 342
8.1.1 無窮系統的規範條件 342
8.1.2 非凸無窮約束集合的法維 348
8.1.3 非線性SIPs的很優性條件 358
8.2 Lipschitz 半無窮規劃 364
8.2.1 一些技術引理 364
8.2.2 上確界函數的基本次梯度 370
8.2.3 Lipschitz SIPs 的很優性條件 377
8.3 非光滑錐約束優化 380
8.3.1 標量化上確界函數的次梯度 381
8.3.2 點基很優性和規範條件 388
8.3.3 無CQs的規範很優性條件 393
8.3.4 錐約束系統的適定性 396
8.3.5 非凸SIPs的很優性與適定性 402
8.4 具有可數約束的非凸SIPs 406
8.4.1 可數個集合之交的CHIP性質 407
8.4.2 可數個集合之交的廣義法向量 414
8.4.3 可數約束下的很優性條件 421
8.5 第8章練習 428
8.6第8章評注 433
第9章 集合優化中的變分分析 439
9.1 由錐誘導的極小點和次微分 439
9.1.1 集合的極小點 439
9.1.2 映射的極小點和次微分 441
9.2 有序映射的變分原理 444
9.2.1 集值映射的極限單調性 444
9.2.2 Ekeland型變分原理 447
9.2.3 映射的次微分變分原理 451
9.3 相對Pareto型極小點的存在性 453
9.3.1 次微分 Palais-Smale條件 453
9.3.2 無約束問題解的存在性 454
9.3.3 顯式約束下的存在性定理 461
9.4 多目標問題的很優性條件 464
9.4.1 集值優化中的Fermat法則 464
9.4.2 約束設置的很優性條件 469
9.5 第9章練習 471
9.6 第9章評注 478
第10章 集值優化與經濟學 484
10.1 通過集值優化的經濟建模 484
10.1.1 福利經濟學模型 484
10.1.2 約束集值優化 486
10.1.3 接近局部化極小點的很優配置 487
10.2 接近局部化的很優性條件 490
10.2.1 乘積空間中的確切極點原理 490
10.2.2 集合的漸近閉性 491
10.2.3 局部化極小點的必要條件 493
10.3 局部拓展的第二福利定理 495
10.3.1 一般商品空間的結論 496
10.3.2 有序商品空間 498
10.3.3 弱Pareto型很優配置的正常性 500
10.4 全域擴展的第二福利定理 503
10.4.1 淨需求規範條件 504
10.4.2 福利經濟學中的全域很優性 505
10.5 第10章練習 509
10.6 第10章評注 511
參考文獻 515
符號和縮略詞 562
索引 568
《現代數學譯叢》已出版書目 590
